BIBLIOTECA CIENTÍFICA DEL CIUDADANO
Una serie de Grano de Sal dirigida por Omar López Cruz (Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica) y Lamán Carranza Ramírez (Unidad de Planeación y Prospectiva, Gobierno del Estado de Hidalgo)
►Energía para futuros presidentes. La ciencia detrás de lo que dicen las noticias
Richard A. Muller
►Conciencia del tiempo. Por qué pensar como geólogos puede ayudarnos a salvar el planeta
Marcia Bjornerud
►Predecir lo impredecible. ¿Puede la ciencia pronosticar los sismos?
Susan E. Hough
►En pie. Las claves ocultas de la ingeniería
Roma Agrawal
►Vaquita marina. Ciencia, política y crimen organizado en el golfo de California
Brooke Bessesen
►El arte de la lógica (en un mundo ilógico)
Eugenia Cheng
Primera edición, 2019 | Primera edición en inglés, 2018
Título original: The Art of Logic.
How to Make Sense in a World that Doesn't
© 2018, Eugenia Cheng
© de la traducción, Jara Diotima.
Cesión realizada a través de Blackie Books, SLU
Diseño de portada: León Muñoz Santini y Andrea García Flores
D. R. © 2019, Libros Grano de Sal, SA de CV
Av. Casa de Moneda, edif. 12-B, int. 4, Lomas de Sotelo, 11200,
Miguel Hidalgo, Ciudad de México, México
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Todos los derechos reservados. Se prohíben la reproducción y la transmisión total o parcial de esta obra, de cualquier manera y por cualquier medio, electrónico o mecánico —entre ellos la fotocopia, la grabación o cualquier otro sistema de almacenamiento y recuperación—, sin la autorización por escrito del titular de los derechos.
ISBN 978-607-98762-0-3
Presentación | OMAR FAYAD MENESES
Introducción
PARTE I. El poder de la lógica
1. ¿Por qué la lógica?
2. Lo que la lógica es
3. La direccionalidad de la lógica
4. Opuestos y falsedades
5. Culpa y responsabilidad
6. Relaciones
7. Cómo tener razón
PARTE II. Los límites de la lógica
8. Verdad y seres humanos
9. Paradojas
10. Ahí donde la lógica no puede ayudarnos
PARTE III. Más allá de la lógica
11. Axiomas
12. Líneas delgadas y zonas grises
13. Analogías
14. Equivalencia
15. Emociones
16. Inteligencia y racionalidad
Agradecimientos
Las grandes ideas pueden alcanzarnos mientras atravesamos la profunda oscuridad de la noche de los tiempos. La idea de una sociedad democrática es ya antigua, pero su valor y efectividad no han cambiado, si bien hoy los retos son mayores: ahora los desafíos trascienden fronteras y nos llevan a considerar que nuestro entorno es el planeta entero, ya no aquel pequeño ámbito de la polis.
Por otra parte, el libro sigue siendo el mejor vehículo para continuar el diálogo con los principales pensadores y líderes de la humanidad. Como dijo Sergio Pitol al referirse a su Biblioteca del Universitario, “El libro afirma la libertad, muestra opciones y caminos distintos, establece la individualidad, al mismo tiempo fortalece a la sociedad, y exalta la imaginación”; por todo ello, nuestra fe en el libro se renueva cada vez que rompemos la venda de la ignorancia.
En Hidalgo hemos abanderado el combate a la pobreza mediante el impulso a la ciencia y la tecnología, bajo un esfuerzo integral y decidido por procurar la seguridad de los ciudadanos, la generación de empleos y una mayor atracción de inversiones. Tenemos un compromiso con el combate a la desigualdad atacando sus fuentes desde la raíz. Como reconocemos que una de sus principales causas es la ignorancia, hemos procurado el acceso a una educación moderna y de máxima cobertura geográfica, en todos los niveles, que abarque a todas las niñas y todos los niños del Estado. Creemos firmemente que las personas educadas pueden acceder a mejores oportunidades de movilidad social. En consecuencia, nos hemos hecho el firme propósito de ser la cuna de los científicos y los tecnólogos que abrirán nuevas formas de producción, siempre con un fuerte compromiso con el cuidado del medio ambiente. Queremos formar ciudadanos libres, que hagan suyos los valores de la democracia.
Dentro de la planeación para el desarrollo, Hidalgo está comprometido con la generación de proyectos que serán hitos transformadores de la economía y las capacidades de nuestro estado. Ejemplos de la visón que estamos impulsando son el Sincrotrón Mexicano, el Laboratorio de Gobierno Digital y Políticas Públicas, el Laboratorio Nacional de Acceso Estratégico, el Puerto de Lanzamiento de Nanosatélites, el Laboratorio Nacional lab Chico, la Litoteca Nacional de la Industria de Hidrocarburos, el Consorcio de Innovación Textil y Manufactura, y el Radio Observatorio Nacional.
Para sostener un ambiente democrático, los ciudadanos deben estar bien informados. Por ello hemos prestado particular atención a brindar a la ciudadanía elementos que ayuden a formar opiniones basadas en el conocimiento. Las decisiones que tomemos en los próximos años serán nuestra respuesta como sociedad local a los grandes problemas que aquejan a la humanidad. El camino no es simple: corremos el peligro de perder el rumbo hacia el futuro de bienestar y equidad que buscamos en Hidalgo. Debemos estar preparados. Por ello, me enorgullece presentar la Biblioteca Científica del Ciudadano (BCC) como un esfuerzo para cubrir diversos temas de actualidad que son de importancia para los ciudadanos en un mundo globalizado. La BCC presenta el pensamiento y la opinión de grandes científicos y divulgadores sobre temas que van desde la generación de energía hasta el uso cotidiano de la lógica matemática, desde la geología hasta la conservación de la naturaleza, desde las dificultades para predecir los sismos hasta las maravillas estructurales que la ingeniería hace posible. Con esta serie ofrecemos el acceso a ideas poderosas y a modos rigurosos de pensar. Además hemos buscado a las mejores autoras para que su ejemplo sirva también de invitación para acabar con la desigualdad de género que aflige al quehacer científico y tecnológico.
Como asesor científico de la BCC está el doctor Omar López Cruz, astrónomo que a su destacada trayectoria en la investigación de agujeros negros suma una decidida vocación por divulgar el conocimiento. Le he solicitado a Lamán Carranza Ramírez, titular de la Unidad de Planeación y Prospectiva, que codirija la BCC. Es poco común en nuestro país encontrar la colaboración entre políticos y científicos; por ello, celebro con gran beneplácito que la dirección de la BCC esté en sus manos.
No es frecuente encontrar juntos, en una sola frase, vocablos como libros, ciencia y ciudadanía. La BCC expresa la convicción de que estos tres campos de acción pueden potenciarse unos a otros. Quien se asome a los títulos de esta serie hará suyo lo mejor de la palabra escrita, del pensamiento crítico y de la vida responsable en comunidad. Si queremos alcanzar grandes resultados, debemos pensar en grande. Estoy seguro de que las siguientes páginas nos ayudarán a hacerlo y, por qué no, también a soñar en grande.
LIC. OMAR FAYAD MENESES
Gobernador Constitucional del Estado de Hidalgo
A mis padres, que me enseñaron lógica e intuición
¿Verdad que sería útil que todos pudiéramos pensar de manera más clara? ¿Que pudiéramos distinguir entre realidad y ficción, entre verdad y mentira?
Pero, ¿qué es la verdad? ¿La diferencia entre verdad y mentira es siempre tan simple como parece? De hecho, ¿es simple alguna vez? Si lo es, ¿por qué la gente está tan a menudo en desacuerdo? Y si no lo es, ¿por qué la gente a veces sí logra ponerse de acuerdo?
El mundo está atestado de discusiones horribles, conflictos, divisiones, fake news, victimismos, explotaciones, prejuicios, fanatismos, culpa, gritos y una limitada capacidad de concentración. Cuando los memes de gatos captan más atención que un asesinato, ¿significa que la lógica ha muerto? Cuando un encabezado de prensa se hace viral sin importar su veracidad, ¿significa que la racionalidad se ha vuelto irrelevante? Demasiado a menudo, la gente pronuncia frases simples y dramáticas para producir un efecto, para impactar, para ser aplaudido y para intentar conseguir ser el centro de atención en un mundo donde, todo el tiempo y de forma despiadada, infinitas fuentes compiten por nuestra atención.
Las simplificaciones excesivas nos empujan a situaciones de blanco y negro, cuando en realidad existen infinitos matices de gris e, incluso, de variaciones cromáticas. Parece que vivimos con un constante ruido de fondo cargado de fuerte crítica, desacuerdos y grupos de gente atacando a otros grupos, ya sea de manera figurada o real.
¿Se ha perdido toda esperanza? ¿Estamos condenados a tomar partido, a quedar atrapados en nosotros mismos, para nunca más ponernos de acuerdo?
No.
Existe un chaleco salvavidas disponible para todos los que están ahogándose en el ilógico mundo contemporáneo, y ese chaleco es la lógica. Pero, como todo chaleco salvavidas, sólo nos ayudará si lo usamos bien. Y para ello debemos no sólo entender mejor la lógica, sino también entender mejor las emociones y, lo más importante, la interacción entre ambas. Sólo entonces podremos usar la lógica de manera verdaderamente productiva en el mundo humano real.
Las matemáticas han perfeccionado cuidadosamente las técnicas de la lógica y, como la investigadora matemática que soy, provengo de ese mundo. Creo que podemos aprender algo de las técnicas y los conocimientos de las matemáticas, porque tratan de construir argumentos lógicos de manera rigurosa y después intentan convencer con ello a otra gente. Las matemáticas no tratan sólo de números y ecuaciones: son una teoría de la justificación. Ofrecen un marco para tener discusiones y son tan útiles que los matemáticos suelen ponerse de acuerdo sobre las conclusiones a las que llegan.
FIGURA 1.1.
Hay un mito muy extendido que afirma que las matemáticas sólo tratan de números y ecuaciones, y que sólo son útiles para el mundo real en aquellos momentos de la vida en que usamos números. El mito continúa con la idea, equivocada, de que el único objetivo de las matemáticas es convertir las situaciones de la vida en ecuaciones para luego solucionarlas usando las propias matemáticas. Aunque éste es uno de los aspectos de esta disciplina, se trata de una visión muy estrecha y limitada de lo que las matemáticas son y lo que hacen. Desde esta perspectiva, se perciben las “matemáticas puras” como un extraño campo de símbolos esotéricos, alejado del mundo real y sólo capaz de interactuar con éste mediante una cadena de intermediarios (figura i.1).
En cambio, deberíamos expandir esta manera tan limitada, lineal e incompleta de entender las matemáticas y concebirlas en un sentido más amplio y, por lo tanto, aplicable a más casos. Puede ser que las matemáticas en la escuela sean fundamentalmente números y ecuaciones, pero las de más alto nivel versan sobre cómo pensar, y en ese sentido son aplicables a la totalidad del mundo humano y no sólo a aquella parte que implica números (figura i.2).
Las matemáticas nos ayudan a pensar de manera más clara, pero no nos dicen qué pensar, y tampoco lo haré yo en este libro. En contra de lo que pueda parecer, las matemáticas no tratan de lo que está bien y lo que está mal, como tampoco lo hacen la mayoría de las discusiones. Se ocupan del sentido en el cual algo está bien y algo está mal, dependiendo de las visiones del mundo que se manejen. Si la gente no está de acuerdo, casi siempre se debe a diferentes puntos de vista derivados de diferentes creencias elementales, no al hecho de que uno esté en lo cierto y el otro esté equivocado.
FIGURA 1.2.
Si las matemáticas y la lógica te parecen algo lejano y abstracto, tienes razón: las matemáticas y la lógica son algo lejano y abstracto. Pero voy a sostener aquí que la abstracción tiene una finalidad y que una de sus poderosas consecuencias es que la puedes aplicar ampliamente. La lejanía de las matemáticas también tiene una finalidad: dar un paso atrás nos permite centrarnos en los principios importantes y pensar con más claridad sobre ellos antes de añadirles los complicados detalles de la vida humana.
Ya añadiremos esos detalles. Analizaremos y arrojaremos luz sobre cuestiones complicadas, controvertidas y que dividen a la sociedad, como el sexismo, el racismo, los diversos privilegios, el acoso y las fake news, entre otros. La lógica no resuelve estas cuestiones, pero sí aclara los términos en los que deberían darse las discusiones. Está claro, entonces, que no te diré cuál debería ser la conclusión de esas discusiones, sino más bien cómo de entrada deberíamos tener la discusión.
En este libro, mostraré el poder de la lógica pero también sus limitaciones, de tal manera que podamos usar dicho poder de manera responsable y eficiente. En la primera parte, revisaré cómo usamos la lógica para verificar y establecer la verdad, mediante la construcción de argumentos claros e irrefutables. En la segunda parte, me detendré en aquellos lugares donde la lógica se quiebra y ya no nos puede ayudar. Como sucede con cualquier herramienta, no deberíamos intentar forzar la lógica más allá de sus límites, así que en la última parte del libro abordaré lo que debemos hacer como alternativa. Algo crucial es que también debemos incorporar las emociones, primero para llegar a la lógica y después para transmitirla a los demás. La lógica hace que nuestros argumentos sean rigurosos, pero las emociones los hacen convincentes. En el llamado mundo de la “posverdad”, parece que nos acercamos a la verdad mediante las emociones en vez de hacerlo mediante la lógica. Esto parece una mala noticia para la racionalidad, pero sostendré que no tiene por qué ser algo malo, siempre y cuando las emociones trabajen con la lógica, en vez de trabajar contra ella.
Las emociones y la lógica no tienen por qué ser enemigas. La lógica trabaja perfectamente en el abstracto mundo matemático, pero la vida es mucho más complicada que eso. La vida implica a los seres humanos y los seres humanos tienen emociones. Aquí, en este mundo nuestro, complicado y hermoso, deberíamos usar las emociones para apoyar a la lógica y la lógica para entender las emociones. Creo firmemente que cuando usamos conjuntamente las emociones y la lógica, cada una de ellas en función de sus fuerzas y no más allá de ellas, podemos pensar de manera más clara, comunicarnos de manera más efectiva y lograr una comprensión más profunda y empática de los otros seres humanos. Ése es el verdadero arte de la lógica.
Parte I
El mundo es un lugar vasto y complejo. Si queremos entenderlo, necesitamos simplificarlo. Existen dos maneras de simplificar algo: podemos olvidarnos de algunas de sus partes o podemos aumentar nuestra inteligencia de tal manera que podamos comprender aquello que nos parecía incomprensible. Este libro se trata del papel que la lógica puede y debería tener en este proceso de comprensión. Trata de cómo la lógica nos puede ayudar a ver y comprender el mundo de manera más clara. Y de la luz que la lógica arroja.
La lógica implica ambos aspectos de este proceso de simplificación. Olvidar los detalles es el proceso de abstracción, con el que encontramos la esencia de la situación y nos concentramos en ella durante un rato. Es importante que no olvidemos los detalles críticos, puesto que hacerlo sería simplista en vez de revelador. Y sólo lo hacemos de manera temporal, por lo que no afirmamos haberlo entendido todo sino solamente el núcleo central en el que la comprensión posterior se puede basar.
Empezaremos, en este capítulo, a discutir por qué la lógica es un buen fundamento para toda comprensión y qué papel puede tener la lógica en un mundo de seres humanos ilógicos.
Todos los campos de investigación y estudio se dedican a descubrir verdades sobre el mundo. Puede ser sobre la Tierra, el clima, las regiones lejanas del universo, las aves, la electricidad, los cerebros, la sangre, la gente hace miles de años, los números o cualquier otra cosa. Dependiendo de lo que estudies, necesitarás diferentes maneras de determinar qué es verdad y de convencer a otra gente de que estás en lo cierto. Cualquiera puede pronunciar frases sobre lo que cree que es verdad, pero, a menos que ofrezca razones que apoyen su creencia, puede que nadie le crea, y eso está bien.
Así, distintos campos de estudio recurren a distintos caminos para acceder a la verdad.
La verdad científica se determina usando el método científico, que es un marco claramente definido que permite decidir qué probabilidad existe de que algo sea correcto. Suele consistir en plantear una teoría, reunir evidencia y contrastar rigurosamente la teoría con la evidencia.
La verdad matemática es accesible mediante la lógica. Podemos usar algunas emociones para sentirla, comprenderla y convencernos de ella, pero para verificarla sólo usamos la lógica. Esta distinción es importante y sutil. En cierto modo, accedemos a la verdad matemática mediante las emociones, aunque no cuente como verdad hasta que no la hayamos verificado mediante el uso de la lógica.
La palabra lógica y sus derivados a veces se utilizan en las discusiones para intentar darle peso a un argumento. “Lógicamente, esto tiene que ser verdad”, o “por lógica, esto no puede ser cierto”, o “¡no estás siendo lógico!”. A la palabra matemáticamente le sucede lo mismo: “matemáticamente, no pueden ganar las elecciones”. Por desgracia, estos usos a menudo no tienen sentido y se usan como último recurso para intentar reforzar un argumento débil. Aunque el uso de esas palabras las devalúa y eso me entristece, soy optimista e intento encontrar algo alentador en ello: me esperanza pensar que en su fuero interno la gente sabe que la lógica y las matemáticas son irrefutables y que sí sirven para zanjar una discusión. Si sus nombres se usan en vano para derrotar a un oponente, al menos eso significa que, de alguna manera, se les reconoce su poder.
En vez de simplemente lamentarme por la falta de comprensión de la lógica y las matemáticas, prefiero abordarla con la esperanza de que su poder se use con buenos fines. Por eso escribí este libro.
Una de las razones principales para usar un marco claro para acceder a la verdad es que permite que nos pongamos de acuerdo. Esto parece muy radical en un mundo en el que la gente parece buscar tanto como sea posible el desacuerdo con los otros. Sucede incluso en el deporte, cuando los aficionados se enfadan con una decisión que un árbitro ha tomado, aunque se supone que el árbitro se limita a aplicar las reglas previamente acordadas.
Recuerdo haber asistido a la competencia de remo entre Oxford y Cambridge un año en el que los botes chocaron de forma peligrosa, por lo que se penalizó a Cambridge. Como alumna de esa universidad, me enfurecí, pues me parecía evidente que habían sido los de Oxford los que se habían desviado deliberadamente hacia el bote de Cambridge, por lo que parecía que la culpa era de aquéllos. Pensé que el árbitro estaba conspirando con la gente de Oxford y no estaba siendo imparcial. Sin embargo, en vez de despotricar contra la presunta conspiración, busqué la opinión de un experto para entender lo que había sucedido. Aprendí que, para esa carrera por el Támesis, se traza una línea imaginaria por el centro del río y cada bote tiene prioridad en su lado. Esto significa que un bote puede dejar mucho espacio, tal vez cuando gira, y forzar al otro bote a sobrepasar la línea; entonces el bote con la prioridad puede dirigirse hacia el que cruzó la línea divisoria, sabiendo que no será sancionado. ¿Esto es moralmente correcto? ¿De quién es la culpa, en realidad? Desenmarañaremos cuestiones sobre la culpa y la responsabilidad en el capítulo 5.
Esta idea de un marco claro para llegar a un consenso recuerda ligeramente cómo funciona el diagnóstico médico. Los profesionales de la medicina intentan crear una lista de verificación clara para que el diagnóstico no sea ambiguo, y así distintos profesionales hagan sus diagnósticos de manera consistente.
La idea detrás de la lógica es tener reglas claras que permitan a diferentes personas derivar las mismas conclusiones sin ambigüedad y de manera consistente. Esto es maravilloso en teoría, y puede que aquí “en teoría” signifique en el mundo abstracto de las matemáticas. Las matemáticas tienen una gran habilidad para avanzar. El filósofo Michael Dummet escribe en The Philosophy of Mathematics [Filosofía de las matemáticas]: “Las matemáticas avanzan regularmente, mientras que la filosofía avanza a trompicones en una perplejidad infinita sobre los problemas que afronta desde sus inicios.”
¿Por qué los matemáticos son capaces de ponerse de acuerdo sobre lo que es verdadero? ¿Y por qué es verdadero incluso después de miles de años, cuando otras disciplinas parece que están mejorando y actualizando sus teorías todo el tiempo? Creo que la respuesta yace en la robustez de la lógica. Ésta es su mayor ventaja.
El mundo de la lógica tiene algunas desventajas. Una de ellas es que no puedes ganar una discusión sólo gritando. Claro que esto es una desventaja si sólo te gusta ganar discusiones gritando, lo que no es mi caso. Pero, por desgracia, a mucha gente le gusta eso, lo cual implica que el mundo de la lógica no es de su agrado. Y no les gusta el hecho de que en ese mundo no pueden derrotar a una persona pequeña, que habla en voz baja y que no es muy cool, como yo. Porque en el mundo de la lógica la fuerza no proviene de una gran musculatura, enormes cantidades de dinero o destrezas deportivas. Proviene del puro intelecto lógico.
FIGURA 1.1. “Demuestra que el ángulo A es la mitad del ángulo B” (ojo: este ejemplo es una invención y no puede resolverse).
Otra desventaja del mundo de la lógica es que una vez en él ya no tienes los pies en el suelo, pues ya no te hallas en el mundo concreto. A veces puede parecer que estás flotando en medio de la nada, pero creo que ésta es una sensación bastante agradable, una vez que te has acostumbrado. Como cuando se lanzó al primer ser humano al espacio, la clave es ser capaz de volver otra vez a la Tierra. En este libro, no sólo flotaremos en el mundo abstracto por puro placer, sino que también volveremos a la Tierra y usaremos poderosas técnicas lógicas para desentrañar discusiones reales, relevantes y urgentes sobre el estado de nuestra sociedad. Veremos que acceder al abstracto mundo de la lógica nos permite llegar más lejos en el mundo real, de la misma manera que volar por los cielos nos permite viajar más lejos y más rápido en la vida real. En esencia, ésta es la razón de ser de las matemáticas.
Existen muchas confusiones sobre las matemáticas. Esto quizá se debe a la manera en que nos las presentan en la escuela, como un conjunto de reglas que debes seguir para llegar a la respuesta correcta. La respuesta correcta en las matemáticas escolares suele ser un número. Cuando finalmente los estudiantes se ocupan de una demostración, suele ser en la geometría, donde las “demostraciones lógicas” se construyen usando hechos peculiares para demostrar otros resultados sin sentido, como cuando, dada cierta configuración de líneas que se cruzan entre sí en tales y cuales puntos, resulta que un ángulo de por aquí está relacionado con otro ángulo de por allá (figura 1.1).
Luego te enfrentas a una serie de pruebas y exámenes, en los que se te pide que realices unos cuantos de estos ejercicios absurdos en un lapso arbitrario de tiempo. Si superas todo eso y, por alguna razón, todavía crees en las matemáticas, puede que acabes yendo a la universidad a estudiarlas, donde es probable que todo esto vuelva a suceder una y otra vez, excepto que será más difícil. Si sobrevives a eso y todavía te gustan las matemáticas, puede que hagas un doctorado y empieces a investigar. Aquí, finalmente, las matemáticas empiezan a parecerse a lo que, creo, son en realidad. No una serie de pruebas que superar, ni un intento de llegar a la “respuesta correcta”, sino un mundo a explorar, descubrir y entender: el mundo de la lógica.
En ese momento, algunas personas se dan cuenta de que lo que les gustaba de las “matemáticas” era ir de prueba en prueba y llegar a la respuesta correcta. Les gustaba llegar fácilmente a la respuesta correcta, por lo que, una vez que llegan a ese mundo exploratorio de las matemáticas, se alejan corriendo.
Otra gente se aferró a su amor por las matemáticas a lo largo de las desafortunadas experiencias escolares porque, de alguna manera, sabía que al final, cuando llegaran a investigar, las matemáticas iban a ser mejores y más emocionantes que todo eso. A este fenómeno el profesor Daniel Finkel lo llama estar “vacunado” contra las clases de matemáticas escolares. Mi madre me vacunó contra ese tipo de clases y me enseñó que las matemáticas eran mucho más que lo que nos enseñan en la escuela. Algunos son vacunados por un excelente profesor de matemáticas. A veces sólo hace falta un profesor, de una sola clase, para que la vacuna surta efecto y convenza a los estudiantes de que, a pesar de las clases previas y las que sigan, las matemáticas serán siempre fascinantes, si ellos trabajan lo suficiente.
Así, ¿qué es esto de las “verdaderas matemáticas” que sólo llegamos a conocer cuando investigamos? ¿Qué son las matemáticas? Mucha gente cree que son “el estudio de los números”, pero son mucho más que eso. Di una charla sobre simetría en una escuela primaria en Chicago y un niño se quejó diciendo: “¿Dónde están los números?” Le expliqué que las matemáticas no sólo tratan de números y él lo lamentó: “¡Pero yo quiero que traten de números!”
Las reglas del descubrimiento científico se refieren a experimentos, evidencia y repetibilidad. Las del descubrimiento matemático no se refieren a ninguna de esas cosas: se refieren a demostraciones lógicas. La verdad matemática se establece construyendo argumentos lógicos, y nada más.
Mi manera preferida de pensar sobre las matemáticas es ésta: son el estudio de cómo funcionan las cosas. Pero no el estudio de cómo funciona cualquier cosa: son el estudio de cómo funcionan las cosas lógicas. Y no son cualquier estudio de cómo funcionan las cosas lógicas: son el estudio lógico de cómo funcionan las cosas lógicas.
Las matemáticas son el estudio lógico de cómo funcionan las cosas lógicas.
Toda área de investigación consta de dos aspectos:
1.aquello que estudia y
2.cómo lo estudia.
Los dos están relacionados, pero en matemáticas están particularmente relacionados de manera cíclica. Normalmente, los objetos que estudiamos determinan cómo vamos a estudiarlos, pero en matemáticas la manera en que los estudiamos también determina lo que podemos estudiar. El método que usamos es la lógica, por lo que podemos estudiar cualquier objeto que se comporte de acuerdo con las reglas de la lógica. Pero, ¿cuáles son esos objetos? Ésa es la cuestión que se aborda en la primera parte de este libro.
Los diversos juegos y deportes tienen distintas reglas para decidir, sin ambigüedades, quién es el mejor. En lo personal, estoy más cómoda con aquellas reglas que son muy claras, por ejemplo: gana el primero que pase la línea de meta, o el que supere la barra más alta sin derribarla. Otros deportes, como la gimnasia o los clavados, parecen más complicados, confusos y ambiguos, puesto que requieren de un panel de jueces para tomar decisiones según determinados criterios. Se supone que los criterios se establecen sin ambigüedades y que se elaboran con el fin de eliminar el juicio humano de esa situación. Pero si verdaderamente no fueran ambiguos, los jueces siempre estarían de acuerdo y no necesitaríamos todo un panel.
Ahora bien, incluso los deportes que son muy claros tienen muchísimas reglas. Si nos detenemos a observar los 100 metros planos o el salto de altura, nos percataremos de que existen reglas sobre las salidas en falso, el uso de drogas, a quién se le permite participar como mujer o a quién como discapacitado, entre otras.
Uno de los problemas de la lógica, así como del deporte, es que sus reglas pueden ser incomprensibles si no estás acostumbrado a ellas. A mí me resultan incomprensibles las reglas del futbol americano. Los estadounidenses creen que eso se debe a que soy británica, y por tanto a que estoy acostumbrada al futbol “soccer”, pero de hecho ese deporte también me desconcierta. Aunque, por lo menos, entiendo que se trata de mover una pelota con los pies. Hasta ahí llego.
Necesitamos establecer de manera clara cuáles son las reglas de un deporte antes de empezar a jugar, de la misma manera que necesitamos tener claras las reglas de la lógica antes de usarla. Como en cualquier deporte, mientras más experto seas, entenderás de manera más profunda las reglas y sus sutilezas. Eso exige un esfuerzo: cuanto más entendamos los principios subyacentes de la lógica, mejores y más productivos argumentos podremos ofrecer.
Internet es una fuente rica e inagotable de argumentos erróneos. Ha existido un incremento, alarmante y gradual, de gente no experta que desdeña el consenso de los expertos como si fuera la conspiración de una élite —eso pasa, por ejemplo, con el cambio climático y con las vacunas—. Sólo porque mucha gente está de acuerdo con algo no significa que exista una conspiración. Mucha gente está de acuerdo con que Roger Federer ganó Wimbledon en 2017. De hecho, probablemente todos lo que están al tanto están de acuerdo. Eso no significa que sea una conspiración: significa que existen reglas muy claras sobre cómo ganar Wimbledon y mucha, mucha gente pudo verlo jugar y verificar que, en efecto, él ganó, conforme a las reglas establecidas.
El problema con la ciencia y las matemáticas es que sus reglas son más difíciles de entender, por lo que para los que no son expertos es más difícil verificar que se han respetado las reglas. Pero esta falta de comprensión nos lleva a un nivel mucho más elemental: los distintos usos de la palabra teoría. En algunos usos, una “teoría” es simplemente una explicación propuesta para algo. En la ciencia, una “teoría” es una explicación que ha sido rigurosamente sometida a prueba según un marco claro y que se considera correcta con una alta probabilidad. (Para ser más exactos, hay una alta probabilidad de que el resultado no se dé sin que la explicación sea correcta.)
En matemáticas, sin embargo, una “teoría” es un conjunto de resultados que se ha demostrado conforme a la lógica. No hay ninguna probabilidad involucrada, ni ninguna evidencia, y no existe la duda. La duda y las preguntas vienen cuando nos preguntamos cómo esa teoría representa el mundo que nos rodea, pero los resultados que son verdaderos dentro de esa teoría deben ser lógicamente verdaderos, y todos los matemáticos pueden estar de acuerdo con ellos. Si dudan, deben encontrar un error en la demostración; no se vale simplemente ponerse a gritar.
Es una característica notable de esta disciplina que los matemáticos son sorprendentemente buenos a la hora de ponerse de acuerdo en lo que es y lo que no es verdadero. Tenemos preguntas abiertas, de las que todavía no tenemos la respuesta, pero las matemáticas de hace 2 mil años siguen siendo consideradas verdaderas y, de hecho, se siguen enseñando. No sucede igual con la ciencia, que constantemente se está perfeccionando y actualizando. No creo que mucha ciencia de hace 2 mil años todavía se enseñe, excepto en las clases de historia de la ciencia. La razón principal es que el marco mediante el cual se demuestra que algo es verdadero en matemáticas es la demostración lógica, y ese marco está lo suficientemente claro para los matemáticos como para que todos estén de acuerdo con él. No significa que exista una conspiración.
Las matemáticas, claro está, no son la vida y las demostraciones lógicas no acaban de funcionar en la vida real. Esto se debe a que la vida real tiene muchos más matices e incertidumbres que el mundo matemático. El mundo matemático ha sido construido especialmente para eliminar la incertidumbre, pero en la vida real no podemos eliminarla. O, más bien, está ahí, la ignoremos o no.
Así, los argumentos para respaldar algo en la vida real no son tan limpios como las demostraciones matemáticas, y esto es una fuente obvia de desacuerdos. Sin embargo, las discusiones lógicas deberían tener mucho en común con las demostraciones matemáticas, aunque no sean tan claras. Algunos de los desacuerdos en las discusiones que se dan en la vida real son inevitables, pues proceden de la legítima incertidumbre sobre el mundo. Pero otros son evitables, y los podemos evitar usando la lógica. Nos centraremos en este último tipo de desacuerdos.
Las demostraciones matemáticas normalmente son más largas y más complejas que las típicas discusiones del día a día. Uno de los problemas con las discusiones en la vida normal es que a menudo suceden muy rápido y no hay tiempo para construir argumentos complejos. Incluso si hubiera tiempo, la capacidad de concentración de la gente se ha reducido de manera significativa. Si no llegas a la conclusión en una revelación instantánea, es probable que mucha gente no siga tu razonamiento.
En cambio, una única demostración en matemáticas puede ocupar diez páginas y tardar un año en elaborarse. De hecho, mientras escribo este libro estoy trabajando en una demostración que ya lleva once años de planeación y para la que llevo escritas más de 200 páginas de anotaciones. Como matemática que soy, estoy muy acostumbrada a elaborar demostraciones largas y complejas.
Casi sin duda un argumento de 200 páginas es demasiado largo para las discusiones en la vida diaria (aunque probablemente no sea tan inusual en las resoluciones judiciales). Sin embargo, 280 caracteres es demasiado poco. Resolver problemas en la vida real no es simple y no deberíamos esperar ser capaces de hacerlo con argumentos de una o dos frases, o mediante el simple uso de la intuición. Más adelante sostendré que la habilidad para construir, comunicar y seguir argumentos lógicos complejos es una habilidad importante de un ser humano racional e inteligente. Construir demostraciones matemáticas se parece a cuando los atletas entrenan en altitudes elevadas, para que cuando vuelvan a altitudes con presión del aire normal todo resulte mucho más fácil. Pero en vez de entrenar nuestro cuerpo físicamente, entrenamos nuestra mente lógicamente, y eso sucede en el mundo abstracto.
La mayoría de los objetos reales no se comporta como la lógica. Yo tampoco. Tú tampoco. Mi computadora por supuesto que tampoco. Si le das a un niño una galleta y a otro, otra galleta, ¿cuántas galletas tenemos? Posiblemente ninguna, pues se las habrán comido.
Ésta es la razón por la que, en matemáticas, nos olvidamos de algunos detalles sobre la situación para poder entrar en un lugar donde la lógica funcione a la perfección. Así, en vez de pensar sobre una galleta y otra galleta, pensamos en uno más uno, olvidándonos del aspecto “galleta”. El resultado de uno más uno entonces sí es aplicable a las galletas, siempre y cuando tengamos en cuenta cómo se comportan y dejan de comportarse las galletas según la lógica.
La lógica es un proceso de construcción de argumentos mediante deducción cuidadosa. Podemos intentar llevarlo a cabo en la vida normal con una variedad de resultados, porque las cosas en la vida normal son lógicas en distinta medida. Yo diría que nada en la vida normal es verdadera y totalmente lógico. Más adelante exploraremos cómo las cosas no llegan a ser lógicas: debido a las emociones, o debido a que hay demasiada información que debemos procesar, o porque nos falta mucha información, o porque un elemento aleatorio está en juego.
Así, para estudiar cualquier cosa de manera lógica, tenemos que olvidarnos de los detalles problemáticos que impiden que las cosas se comporten de manera lógica. En el caso de los niños y las galletas, si se las comen, entonces la situación no se comportará de manera enteramente lógica. Por tanto, imponemos la condición de que no se les permita comer las galletas, en cuyo caso aquellos objetos pueden perfectamente no ser galletas sino cualquier alimento siempre y cuando se divida en unidades individuales. Esas unidades son simplemente “cosas”, sin características distinguibles. Y esto es el número 1: es la idea de una “cosa” claramente diferenciable.
Este paso nos ha llevado del mundo real de los objetos al mundo abstracto de las ideas. ¿Qué ganamos con eso?
La ventaja de desplazarse al mundo abstracto es que nos encontramos en un lugar donde todo se comporta lógicamente. Si en el mundo abstracto sumo uno y uno bajo exactamente las mismas condiciones, una y otra vez, —siempre— obtendré dos. (Puedo cambiar las condiciones y obtener una respuesta distinta, pero entonces siempre obtendré la misma respuesta con esas nuevas condiciones.)
Se dice que la locura es hacer lo mismo una y otra vez, y esperar que algo distinto suceda. Yo digo que la lógica (o al menos una parte de ésta) es hacer algo una y otra vez, y esperar que la misma cosa suceda. Cuando trabajo con mi computadora, es eso lo que me vuelve loca. Hago lo mismo cada día y de vez en cuando mi computadora se niega a conectarse a la red. Mi computadora no es lógica.
Un poderoso aspecto de la abstracción es que muchas situaciones diferentes se convierten en la misma, si te olvidas de los detalles. Podría fijarme en una manzana y otra manzana, o en un oso y otro oso, o en un cantante de ópera y otro cantante de ópera, y todas estas situaciones se convertirían en “1 + 1”, en el mundo abstracto. Una vez que descubrimos que las cosas que son diferentes de alguna manera son la misma, podemos estudiarlas al mismo tiempo, lo cual es mucho más eficiente. O sea, podemos estudiar lo que tienen en común y después observar la manera en la que por separado son diferentes.
Podemos encontrar muchas relaciones entre situaciones diferentes, posiblemente sin esperarlo. Por ejemplo, he encontrado una relación entre el preludio de Bach para piano y la manera como nos trenzamos el pelo. Encontrar relaciones entre situaciones diferentes nos ayuda a entenderlas desde diferentes puntos de vista, pero también es un acto fundamentalmente unificador. Podemos enfatizar las diferencias o podemos enfatizar las similitudes. Tiendo a encontrar similitudes entre las cosas, tanto en las matemáticas como en la vida. Las matemáticas son un marco para encontrar similitudes entre diferentes partes de la ciencia y mi campo de investigación, la teoría de categorías, es un marco para encontrar similitudes entre las diferentes partes de las matemáticas. En el capítulo 6 mostraremos la eficiencia de pensar en términos de relaciones.
Cuando buscamos similitudes entre las cosas, a menudo tenemos que descartar más y más capas de detalles superficiales, hasta que llegamos a las estructuras profundas que mantienen las cosas unidas. Esto se asemeja al hecho de que nosotros, la especie humana, no nos parecemos mucho entre nosotros, pero, si nos despojamos de todo excepto el esqueleto, somos casi idénticos. Despojarnos de las capas superficiales, o reducir un argumento a su esencia, nos puede ayudar a entender lo que pensamos y, en particular, a entender por qué no estamos de acuerdo con otra gente.
Una característica particularmente útil del mundo abstracto es que todo existe en él en el momento mismo en que lo pensamos. Si tienes una idea y quieres jugar con ella, puedes hacerlo de inmediato. No tienes que ir a comprarla (o suplicarle a tus padres que te la compren, o pedirle al organismo que financia la investigación que te dé el dinero para hacerte de ella). Deseo que mi cena exista en cuanto pienso en ella. Pero mi cena no es abstracta, así que no existe. Esto significa que podemos hacer experimentos mentales con nuestras ideas sobre el mundo, siguiendo las implicaciones lógicas para ver qué pasará, sin tener que llevar a cabo experimentos reales y posiblemente poco prácticos para llegar a esas ideas.
Acceder al mundo abstracto y lógico es el primer paso hacia el pensamiento lógico. Por supuesto, en la vida normal no necesitamos ir ahí de manera muy explícita para pensar lógicamente sobre el mundo que nos rodea, pero el proceso sigue estando ahí cuando intentamos encontrar la lógica de una situación.
Hace poco se introdujo un nuevo sistema en el metro de Londres, en el que se dibujaban marcas verdes en los andenes para indicar dónde se abrirían las puertas. Se les pedía a los pasajeros que esperaban el metro que lo hicieran fuera de esas áreas verdes, de tal manera que los que iban a salir del vagón pudieran hacerlo sin problemas, en vez de encontrarse, de cara, con una pared de gente intentando entrar. El objetivo fue intentar mejorar el flujo de gente y reducir la terrible congestión, especialmente durante las horas pico.
Me parece una buena medida, pero fue recibida con desagrado por algunos pasajeros habituales. Se ve que a algunas personas les molestó que esas marcas desvirtuaran la “ventaja competitiva” que habían ganado durante sus años de uso del transporte y de estudio de las puertas del metro para aprender dónde se abrirían. Les desagradaba que los turistas, que nunca habían estado en Londres, tuvieran la misma oportunidad para entrar primero en el vagón.
No se le dio mucha importancia a esa queja, pero pensé que ofrecía una perspectiva interesante sobre uno de los aspectos controvertidos de la discriminación positiva: si ofrecemos ayuda a gente que previamente tenía alguna desventaja, es probable que algunos de los que no reciben esa ayuda se sientan mal por ello. Creen que es injusto que sólo esa gente reciba la ayuda. Igual que los pasajeros absurdamente enfurecidos, puede que se enojen porque están perdiendo la “ventaja competitiva” que ellos creen haberse ganado y que, en su opinión, también el resto de la gente tendría que ganarse.
Esto no es un ejemplo proveniente del mundo de las matemáticas, pero esta manera de realizar analogías es la esencia del pensamiento matemático, donde nos centramos en los rasgos importantes de una situación para aclararla y hacer conexiones con otras situaciones. De hecho, las matemáticas pueden ser enseñadas como una teoría de la analogía. A lo largo de este libro, usaremos analogías para movernos entre situaciones aparentemente no relacionadas, y en el capítulo 13 presentaré un detallado análisis del papel de estas comparaciones. Encontrar analogías implica eliminar algunos detalles que consideramos irrelevantes para las consideraciones actuales, y así encontrar las ideas subyacentes. Esto es un proceso de abstracción, mediante el cual desde luego llegamos al mundo abstracto, donde podemos aplicar la lógica de manera más fácil y efectiva, para examinar la lógica de la situación.
Para llevar correctamente a cabo esta abstracción, debemos separar las cosas que son inherentes de las cosas que son circunstanciales. Las explicaciones lógicas provienen del sentido profundo e inmutable de las cosas, y no de una secuencia de acontecimientos o de decisiones y preferencias personales. Para entender lo inherente, no debemos confiar en el contexto. Veremos cómo nuestro uso normal de la lengua todo el tiempo depende del contexto, pues las mismas palabras pueden significar algo diferente en diferentes contextos, como por ejemplo bastante puede significar “demasiado” o puede significar “no mucho”. En el lenguaje normal, la gente juzga las cosas no sólo por su contexto sino también en relación con sus propias experiencias. Las explicaciones lógicas necesitan ser independientes de las experiencias personales.
Entender lo que es inherente en una situación implica entender por qué las cosas suceden, en un sentido muy profundo. Está muy relacionado con preguntar “¿por qué?”, de manera repetitiva, como un niño pequeño, y con no quedar satisfecho con respuestas inmediatas y superficiales. De entrada, tenemos que dejar muy en claro de qué hablamos. Como veremos, la mayoría de las discusiones lógicas se reducen a desentrañar lo que las cosas realmente significan, y para ello debes entender, de manera muy profunda, lo que las cosas significan. Esto a menudo puede parecerse a hacer que la discusión verse sobre definiciones. Si intentas tener una discusión sobre si realmente existes o no existes, probablemente te encontrarás con que la discusión rápidamente se convertirá en una discusión sobre lo que significa “existir”. A veces tiendo a elegir una definición que afirme mi existencia, puesto que es una respuesta mucho más poderosa que decir “no, no existo”.
Ya he afirmado que nada en el mundo se comporta como la lógica. Pero, si es así, ¿cómo podemos usarla en el mundo que nos rodea? Los argumentos y justificaciones matemáticos son precisos y sólidos, pero no podemos usarlos para sacar conclusiones completamente precisas y sólidas sobre el mundo de los seres humanos. Podemos intentar usar la lógica para sostener discusiones sobre el mundo real, pero por muy precisa que sea la discusión, si empezamos con conceptos que son ambiguos, habrá ambigüedad en los resultados. Podemos usar técnicas de construcción muy seguras, pero si usamos ladrillos de poliestireno nunca llegaremos a construir un edificio resistente.
Aun así, entender la lógica matemática nos ayuda a entender la ambigüedad y el desacuerdo. Nos ayuda a entender dónde se origina el desacuerdo. Nos ayuda a entender si proviene de un uso diferente de la lógica, o de emplear diferentes bloques de construcción. Si dos personas están en desacuerdo sobre el sistema público de salud, puede que lo estén respecto de si todos deben poder acceder a él, o puede que lo estén respecto de la mejor manera de proporcionar tal sistema a todos. Éstos son dos tipos muy diferentes de desacuerdo.
Si están en desacuerdo sobre lo último, puede que estén usando criterios diferentes para evaluar un sistema de salud, como cuánto le cuesta al gobierno, cuánto a los individuos, cuál debe ser la cobertura o cuáles los resultados. Puede que, en un sistema, la prima media haya subido pero que más gente pueda tener acceso al seguro. O puede que estén usando los mismos criterios pero juzgando los sistemas de manera diferente mediante esos mismos criterios: una manera de evaluar el costo para los individuos es mirando la prima que deben pagar mensualmente, pero otra manera es mirando la cantidad que tendrían que pagar de su bolsillo para cualquier tratamiento. E incluso si nos centramos en las primas, existen distintas maneras de evaluarlas, calculando la media o la mediana, o evaluando el costo para el segmento más pobre de la sociedad.
Si dos personas no están de acuerdo sobre cómo resolver un problema, puede que estén discutiendo sobre lo que debe considerarse como una solución, o puede que sí estén de acuerdo sobre qué es una solución pero que estén en desacuerdo sobre cómo alcanzarla. Creo que entender la lógica nos ayuda a entender cómo resolver los desacuerdos, pues nos ayuda a entender dónde se encuentra la raíz de éstos.
En esta primera parte del libro estamos analizando la lógica como una disciplina para construir argumentos y como una parte de las matemáticas. En la segunda parte veremos cuáles son las limitaciones de la lógica. Y en la tercera parte veremos lo importante que es, dadas estas limitaciones, tomar muy en serio nuestras emociones.
A lo largo de esta obra, nuestro propósito es arrojar luz sobre el mundo. Si llevamos la lógica demasiado lejos, nos arriesgamos a sobrepasar ese objetivo y nos expondremos a acusaciones de pedantería. Por desgracia, los matemáticos y el tipo de gente extremadamente lógica a menudo son acusados de pedantes por parte de los no matemáticos o de la gente menos lógica. Aquí, ante el riesgo de sonar yo misma pedante (y de convertirme en alguien muy autorreferencial), quiero intentar arrojar luz sobre la diferencia entre pedantería y precisión. Creo que la diferencia se encuentra en la iluminación .